domingo, 7 de noviembre de 2010

Fundamento

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El sistema diédrico es un método de representación de proyecciones múltiples, en el que los elementos quedan definidos por sus proyecciones ortogonales sobre al menos dos planos de proyección.
Los planos de proyección de los que nos valemos generalmente son 3: planta, alzado y perfil. Una vez que se han proyectado sobre cada unos de ellos las vistas ortogonales del objeto, se giran hasta hacerlos coincidir los tres en un mismo plano.

En la figura un cilindro se proyecta punto por punto sobre el plano horizontal PH y el vertical PV. Como se hace mediante perpendiculares, la circunferencia de la base se transforma en el alzado en una línea recta, por ser el plano que la contiene perpendicular al plano vertical.
Por ser paralela a la planta, la cara superior del cilindro se transforma sobre este plano en un círculo igual.
La recta de intersección del plano vertical y horizontal se llama línea de tierra.













A continuación se gira el plano vertical 90º hasta hacerlo coincidir con el horizontal tomando como eje de giro la línea de tierra. El giro provoca que las dos vistas queden perfectamente alineadas en líneas ortogonales a la línea de tierra.












Las dos vistas diédricas (en planta y alzado) quedarían de esta forma. Tras el giro las proyecciones diédricas del objeto quedan siempre correlativas.












Quitamos la referencia del contorno de los dos planos y tenemos ya la planta y alzado. La línea de tierra se representa en sistema diédrico por una recta que separa la planta del alzado y con dos segmentos en sus extremos.











Si la pieza tiene más complejidad puede ser necesario representar otra vista en algún plano más de proyección. En la figura vemos el plano del perfil (PP).














En la figura vemos en color amarillo lo que se proyecta en el plano vertical, en rojo y verde en el horizontal y en verde sobre el plano del perfil.
















En la planta se coloca la proyección ortogonal de la pieza “vista” desde arriba (en amarillo y azul claro). Correlativamente a la anterior aparece el alzado que es la vista frontal (naranja, verde y azul oscuro) y por último el perfil de la pieza (en rosa), como indica su denominación. Las partes no visibles de la pieza al observador según se coloca arriba para ver la planta, o de frente para ver el alzado aparecen discontinuas. Las líneas discontinuas son líneas que existen, que son intersección de superficies pero que no se pueden apreciar por estar detrás de alguna cara.















Una pieza con sus proyecciones en planta, alzado y perfil, y con una representación axonométrica de la misma.
La pieza, como tiene un hueco prismático cuyas aristas son tangentes a algunas caras de la figura, estas líneas aparecen con una disposición continua ya que son visibles.
















Vamos a representar en el sistema diédrico un prisma con otro prisma hueco en posición oblicua en su interior, para ello tenemos dos procedimientos:















Por un lado tenemos el sistema europeo en el que el observador se coloca encima de la pieza para verla desde arriba en planta. Se coloca detrás de la pieza para verla en el alzado o en el perfil. Con aproximación, lo que ve desde un punto de vista lejano para evitar la distorsión de las líneas concurrentes de la perspectiva, se parece a las proyecciones ortogonales del objeto sobre los tres planos de proyección.

















Una vez que se han proyectado las tres vistas sobre los tres planos de proyección, el plano de perfil se gira 90° hasta hacerlo coincidir con el plano del alzado. A continuación se giran los dos planos hasta hacerlos coincidir con el de la planta, coincidiendo todos con el plano del cuadro o del papel. El giro siempre se hace respecto a la línea de intersección de los planos.















Por otro lado tenemos el sistema americano, en el que una representación práctica del mismo excluye al observador, el objeto simplemente es como si se reflejara sobre los tres planos de proyección siendo estos espejos. La imagen de las tres caras de la pieza reflejada son las que aparecen sobre los tres planos de proyección.















Para obtener las vistas de alzado y perfil, se giran ambos planos 90° hasta que coinciden con el plano de la planta, de esta forma se representan las tres vistas del sistema diédrico. La LT es una recta formada por un segmento grande alterno a dos pequeños y así sucesivamente.


















En la figura observamos una pieza en perspectiva axonométrica isométrica con sus tres proyecciones diédricas, planta, alzado, y perfil. Como muchas caras de la figura son coincidentes con otras o con la continuación de otras, de las vistas diédricas es difícil deducir la forma de la pieza.


Si representamos nuevas vistas y mostramos el interior de la pieza mediante líneas discontinuas facilitamos la comprensión de la misma. Tenemos no obstante el mismo problema que en el dibujo anterior, algunas aristas de la pieza son coincidentes por lo que tiene muy mala interpretación, ni siquiera la que muestra sus caras en distintos colores se aprecia con facilidad. Como la axonometría isométrica hace coincidir las aristas confundiendo la interpretación de la pieza, conviene hacer un giro de la misma en el espacio para obtener una nueva proyección axonométrico, como en el dibujo siguiente.



En esta vista resulta más fácil interpretar la pieza, no obstante como faltan líneas discontinuas no podemos interpretar bien las partes del dibujo no visibles según el punto de vista imaginario de la pieza (imaginario por cuanto la axonometría no tiene punto de vista, es una proyección ortogonal cilíndrica, de ahí que todas las aristas paralelas de la pieza salgan también paralelas en el dibujo, por esto se dice que el paralelismo es un invariante proyectivo en esta perspectiva).



En esta nueva proyección axonométrica trimétrica, podemos ya diferenciar con total nitidez los distintos elementos de la pieza. En consecuencia, cuando unas vistas diédricas no son suficientes para la interpretación del dibujo, -como tampoco lo serían en esta pieza diferentes cortes o vistas auxiliares de la misma-, tenemos que dibujar una perspectiva preferentemente axonométrica en la que las aristas de la pieza no sean coincidentes.













Cuadrantes en s. diédrico
A la izquierda podemos observar los cuatro cuadrantes del sistema diédrico. En el primer cuadrante un punto A tiene sus dos proyecciones ortogonales A1 A2 sobre el plano horizontal y vertical respectivamente. Al girar el plano vertical en sentido contrario a las agujas del reloj, la proyección A2 vertical del punto A queda sobre la línea de tierra mientras que la horizontal A1 queda por debajo de ésta, como se ve en el dibujo de la derecha.
En el segundo cuadrante B con sus dos proyecciones horizontal y vertical B1 B2, respectivamente, se transforman mediante el giro del plano vertical en B1 B2, ambas sobre la línea de tierra, como se observa en el dibujo de la derecha.
En el tercer cuadrante C, podemos observar que al girar el plano vertical, la proyección vertical del punto C2 pasa a estar por debajo de la línea de tierra mientras que la proyección sobre el plano horizontal C1 queda por encima de la línea de tierra, conforme al dibujo de la derecha.
Un punto D en el cuarto cuadrante con sus dos proyecciones horizontal y vertical D1 D2, respectivamente, tenemos que mediante el giro del plano vertical se transforman en 2 puntos alineados sobre una vertical por debajo de la línea de tierra, conforme aparecen el dibujo de la derecha.














Representación de elementos en sistema diédrico mediante coordenadas.
Tenemos los dos planos de proyección, el horizontal y vertical. La intersección de ambos planos o línea de tierra es considerada como el eje X (en color rojo). La línea perpendicular al eje sobre el plano horizontal por un punto cualquiera es considerado el eje Y (en color magenta). A partir de este punto u origen de coordenadas (0,0) hacemos una recta vertical y la consideramos el eje Z.
De esta forma representamos los puntos en los distintos cuadrantes: el punto A esta a 20 unidades del origen de coordenadas sobre el eje X., a partir de este punto hacia la derecha tiene un alejamiento de cinco unidades (tomado sobre el eje y) y una altura o cota de tres unidades (tomado sobre el eje Z), por tanto las coordenadas del punto A son (20,5, 3). En sentido contrario del que hemos utilizado tendríamos unidades con un valor negativo, por ejemplo, el punto B tiene por coordenadas (9, -7,4), esto quiere decir que sobre el eje X. está a nueve unidades, que a partir de este punto hacia la izquierda siguiendo el eje Y está a -7 unidades, y a partir de este punto a una altura o cota de cuatro unidades se localiza el punto B. Un punto que esté en el segundo cuadrante tiene sobre el eje y valor negativo y sobre el eje Z. su valor positivo, mientras que sobre el eje X. puede tenerlo positivo o negativo indistintamente.
El punto C del tercer cuadrante tiene las coordenadas negativas tanto del eje y como del eje Z., de esta forma el punto tiene por coordenadas (0, -8, -2), ello quiere decir que tiene por alejamiento ocho unidades y por cota o altura dos, negativos ambos por estar en el tercer cuadrante.
El punto D tiene por coordenadas (15,6, -20), en este cuadrante Z tiene siempre un valor negativo, mientras que el valor de Y es siempre positivo.













El sistema diédrico puede facilitar la comprensión del fundamento de los demás sistemas de representación.

En la figura tenemos un cubo que se proyecta de forma oblicua y mediante líneas paralelas sobre un plano llamado de cuadro PC. Una al menos de las caras del cubo es paralela al plano del cuadro.
Podemos observar que un segmento vertical de 10 cm se transforma en otro de 9 cm, esto quiere decir que la reducción que se aplica en este sistema de representación es de nueve decimos.
Tenemos también que a partir del eje X se empieza a contar un ángulo en el sentido de las agujas del reloj hasta orientar el eje Y. El ángulo que forman estos dos ejes es el ángulo de la perspectiva caballera, 315º en este caso.






En la figura podemos observar la representación diédrica de la perspectiva caballera, la proyección en planta y alzado de cada uno de los elementos mediante líneas paralelas que transforman la figura en planta en su perspectiva caballera.
Sobre la planta haremos la perspectiva caballera de la figura, que no es más que la sombra de la figura proyectada sobre el plano de la planta. Como vemos en el alzado la cara roja del cubo se transforma en el plano XY sobre la planta, mientras que la cara superior del cubo (en color verde) se transforma en la perspectiva en la cara verde.

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En la figura podemos observar el fundamento del sistema axonométrico, tres ejes cartesianos, X Y Z se proyectan sobre un plano mediante líneas paralelas y de forma ortogonal al mismo. Estos tres ejes son la esquina de un cubo (forman entre sí dos a dos 90°, lo que en geometría se llama un triedro trirrectángulo).
Para obtener la verdadera medida del cubo que se proyecta de forma ortogonal sobre el plano del cuadro, se abaten las caras, de manera que podamos trabajar sobre el papel, sobre el plano del cuadro PC.
Sobre la cara abatida (x) (y) se colocan las vistas de la pieza y se proyectan ortogonalmente sobre la traza de la cara abatida hasta que cortan a los ejes x’ y’, obteniendo así la dimensión reducida sobre los mismos de las aristas del cubo.




En el dibujo tenemos la representación en sistema diédrico del triedro al que se ha abatido una cara, el abatimiento lo observamos en el alzado mediante el giro de la cara xy. Sobre la cara abatida (x) (y) se coloca una de las caras de la figura y se proyecta mediante ortogonales a la charnela hasta que intercepta a los ejes xy.
Al proyectar la forma plana tenemos que los vértices de esta inciden sobre los ejes de la axonometría xy, con lo que tenemos ya la perspectiva de la cara de la figura con su reducción correspondiente y en perspectiva axonométrica.

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En la figura tenemos el fundamento de la perspectiva cónica, por el punto de vista V se hacen paralelas a la dirección de las aristas de la pieza V-F1, V-F2, hasta que interceptan en el plano del cuadro a los puntos de fuga F1 F2. Los lados n de la proyección de la pieza sobre el plano de la base se prolongan hasta que cortan al plano del cuadro, obteniendo las trazas tn que unimos con los puntos de fuga F1. La intersección de estas líneas es el cuadrilátero en perspectiva en color amarillo sobre el plano del cuadro. Como ejemplo tenemos que la perspectiva de n es d.
Para obtener las alturas de la pieza se colocan a partir de la traza tn las dimensiones verticales e s en verdadera magnitud y las proyectamos o d hacia los puntos de fuga F1 obteniendo la perspectiva de estas líneas verticales. Como podemos observar cada punto de la pieza U y su perspectiva U’ están alineados con el punto de vista V, y este es el fundamento de la perspectiva cónica.



En la figura tenemos la representación en sistema diédrico de la perspectiva cónica con sus dos proyecciones solapadas. Como vemos en planta sobre el cuadrado verde se prolongan sus lados n hasta que cortan al plano del cuadro en las trazas tn, puntos que subimos al alzado sobre la línea de tierra. Por el punto de vista V se hacen líneas paralelas a los lados de la figura en la base obteniendo en la intersección con el plano del cuadro en planta los puntos de fuga F1 F2. Estos puntos de fuga en planta se proyectan sobre el alzado sobre la línea que queda a la altura del punto de vista, que es la línea del horizonte F1 F2.
Uniendo los puntos de fuga con las trazas de la pieza tn-F1 tenemos la perspectiva del cuadrado verde sobre el alzado, que es el cuadrado amarillo. A partir de una de las trazas de estas líneas tn se colocan las medidas verticales e s de los elementos a representar. Estas dos medidas se proyectan hasta el punto de fuga F1 y donde interceptan a la vertical de cada punto q de la perspectiva del cuadrilátero amarillo tenemos la perspectiva cónica de la figura con sus dimensiones verticales en perspectiva. Podemos observar en la perspectiva que la proyección del punto de vista sobre la línea del horizonte, que llamamos punto principal, es tal que alinea
cada punto con su perspectiva, por ejemplo se puede observar que un vértice de la figura en el alzado U y su perspectiva U’ están alineados con la proyección del punto de vista V’ sobre el plano del cuadro en el alzado

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Proyección central en movimiento y por pasos:

Obtención de los parámetros de un objeto a partir de su perspectiva:

Perspectiva cónica en movimiento y por pasos:

Perspectiva de cuadro semiesférico:













En la figura podemos observar el fundamento de la perspectiva cónica para una figura con un plano del cuadro oblicuo respecto a las tres caras de la misma.
Por el punto de vista se hacen rectas paralelas a cada una de las aristas de la figura hasta que interceptan al plano del cuadro en los puntos de fuga F M L. Alineando el punto de vista V con cada uno de los vértices de la figura Y tenemos en la intersección con el mismo la perspectiva de cada uno de los puntos Y’.



En la figura podemos observar la representación en planta, alzado y perfil de la figura anterior. Como el plano del cuadro coincide con el plano del dibujo en vez de inclinar éste hemos inclinado el plano de la base y la figura, que tiene al menos una de sus caras paralelas al mismo. Como observamos en la planta y en el perfil, alineamos el punto de vista con cada uno de los puntos de la figura y en la intersección con el plano del cuadro hacemos proyecciones ortogonales al mismo. Por ejemplo, en el perfil alineando el punto Y3 con el punto de vista V3 tenemos J3, y en la planta alineando su correspondiente Y1 con el punto de vista V1 obtenemos J1. La intersección de las ortogonales en planta y en el alzado por esto puntos de intersección Y1 J3 nos determinan la perspectiva de la figura en el alzado J2, de igual forma procedemos con los demás puntos de la figura. Podemos comprobar que esta perspectiva es cierta, que es la figura tal y como la ve un sujeto desde el punto de vista V1 colocado a esa distancia en planta respecto al plano del cuadro PC, si prolongamos las aristas de la figura en perspectiva observamos que se cortan en tres puntos de fuga F2 L2 M2 que coinciden sobre la intersección de las ortogonales que pasan por los puntos de fuga. Como ejemplo obtenemos L2 de la intersección de las ortogonales por los puntos L1 L3 en la planta y en el perfil. También podemos observar que el punto de vista proyectado sobre el plano del cuadro en el alzado, que es el punto principal P2, está alineado con cada punto de la figura y su perspectiva, como ejemplo los puntos Y2-J2-P2 están alineados.

http://perspectiva-de-cuadro-inclinado.blogspot.com/

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